在处理此类案件时，重要的是要确保所有的法律规定和程序都得到准确理解和应用。首先，关于孩子的抚养权问题，一般而言，法院会根据双方的经济条件、生活环境等多方面因素来判断。如果孩子与一方有比较密切的联系，并且另一方无法提供足够的照顾，那么法院可能会支持变更抚养权。 然而，在这种情况下，您提到的一万元补偿是否足以满足您的需求？如果这是一次性给予的补偿金，而且没有明确约定具体的用途或者后续义务，那么可能不足以证明已经履行了相应的责任。 至于是否可以起诉对方要求支付抚养费，这需要具体情况具体分析。如果补偿金确实足够承担抚养费用，并且对方同意按照该金额支付，那么理论上是可以提起诉讼的。但是，如果补偿金不足以负担实际的抚养费用，那么就需要考虑如何平衡补偿金的数额以及实际的抚养成本。 总之，建议您详细查阅相关法律法规，了解具体的法律规定和程序，并寻求专业的法律意见，以便做出最合适的决定。同时，考虑到保护自己的权益，建议在任何行动之前先进行充分的调查和准备。