您的父亲与配偶在2015年元旦分居，并未办理离婚登记。根据我国法律规定，婚姻关系的解除应当通过法定程序进行，即双方需到婚姻登记机关申请离婚登记，并经审查符合条件后领取离婚证书。如果你们没有办理离婚登记，则婚姻关系并未完全解除，您们之间的权利义务仍然存在。 如果您希望结束这段婚姻关系，建议尽快按照法定程序去婚姻登记机关申请离婚登记。这样可以明确宣告婚姻关系的终结，保护自己的合法权益不受侵害。同时，也可以避免日后可能发生的财产分割和子女抚养等问题。