根据我国《民法典》的规定，父母对未成年子女有抚养教育的义务。当父母双方协议轮流抚养子女时，一方可以要求另一方支付抚养费。 在这种情况下，如果孩子的父亲提出放弃抚养权，他需要证明自己没有能力继续履行抚养义务。这可能包括但不限于经济状况不佳、健康状况不佳等。 然而，在这种情况下，如果父亲无法提供足够的证据证明自己的能力，或者他确实有能力并且愿意继续履行抚养义务，法院可能会判决他继续抚养孩子。 此外，如果父亲因为其他原因（如工作繁忙、居住地点远等原因）无法亲自照顾孩子，也可以考虑寻找其他人来替代抚养责任。 总之，解决这个问题的关键在于收集和提交充分的证据证明父亲有能力继续履行抚养义务。同时，考虑到家庭成员之间的关系，也应该尽可能地寻求调解或协商解决方案。