新生儿在出院后的6天内发生脑膜炎，以及随后的感染可能与多种因素有关，包括但不限于护理不当、疾病传播的风险等。在这种情况下，医院通常会承担一定的责任。 根据医疗事故法的规定，医疗机构应当承担相应的赔偿责任，但具体的责任分配需要依据法律规定和证据来确定。如果医生或护士在处理该婴儿的过程中存在疏忽或错误操作，那么他们可能会被认定为直接责任人，并且需要承担一定比例的责任。此外，如果家属在照顾婴儿过程中也存在疏忽，也可能对最终结果产生影响。 因此，在这种情况下，如果您认为月嫂没有尽到应尽的职责，或者她们的行为导致了婴儿生病，您可以考虑向法院提起诉讼，要求月嫂承担责任。同时，您也可以寻求其他途径，如与医院协商解决，以确保您的权益得到保护。