根据我国《民法典》的规定，存款人死亡后，没有遗嘱的，其遗产按照法定继承办理。如果存款人未留下合法有效的遗嘱，则其遗产应由其配偶、父母和子女共同继承。 在您的情况下，如果存款人死亡后，他的子女没有出具公证书，那么他们可以依据法律规定继承该笔存款。因此，银行无需承担任何法律责任。 但是需要注意的是，在实际操作中，由于涉及复杂的法律关系，建议您咨询专业的法律顾问或公证员，以确保自己的权益得到充分保障。