根据我国相关法律规定，劳动者在与用人单位之间存在劳动关系的情况下，其合法权益受到侵害时，有权向用人单位请求赔偿。因此，在此情况下，张某可以要求该工厂及其所属的部门承包负责人共同承担责任。 至于该部门承包负责人是否需要承担相应的责任，这取决于双方的具体约定。如果该承包负责人在履行职责过程中确实有过错，并且造成了张某的损害，那么他可能需要对张某的损失进行赔偿。然而，如果该承包负责人能够证明自己并非故意或过失造成损害，则可能不需承担任何责任。 综上所述，建议张某先通过协商解决争议，如果无法达成一致意见，可以考虑通过法律途径寻求帮助。在具体操作中，应参考当地法律法规以及相关的司法解释。同时，为了更好地维护自己的权益，建议聘请专业的法律顾问协助处理案件。