您好！根据您提供的信息，孩子的抚养权取决于多个因素，包括但不限于双方的经济状况、居住条件、教育水平、健康状况以及双方是否愿意共同抚养孩子等。如果您的丈夫确实在网上与第三方有不当交往，并且这些行为对家庭关系造成了负面影响，这可能会成为法院考虑的因素之一。 然而，仅仅凭一张聊天记录截图和对方不在现场的情况，并不足以证明婚姻已经破裂或存在不可调和的问题。因此，在决定是否提起诉讼离婚之前，建议您详细调查事实，收集更多证据支持自己的主张，比如电话录音、视频监控、电子邮件、短信等。 此外，考虑到孩子年龄较小，最好能够尽可能多地参与到孩子的生活中来，以增强亲子关系，为孩子提供一个稳定的家庭环境。最后，如果您需要专业的法律帮助，可以考虑聘请一位经验丰富的律师，以便更好地维护自己的权益。 希望上述信息能对您有所帮助。祝您早日解决家庭纠纷，保持良好的生活状态。