根据您提供的信息，您与对方存在子女抚养纠纷。关于请求提高抚养费的问题，通常情况下，法院会考虑多个因素来决定抚养费的具体数额，包括但不限于孩子的实际生活需求、父母双方的经济能力、当地的生活水平等因素。 在您的案例中，您提到对方的月收入为6000元，而您希望增加到每月2000元的抚养费。考虑到抚养费的合理性，以及孩子生活的实际情况，您可以向律师咨询并寻求合适的解决方案。此外，为了更好地帮助您，建议您提供更多的细节和证据以支持您的主张，这样可以更准确地评估并提出合理的抚养费请求。 关于律师费用，不同地区、不同的案件类型可能会有所不同，因此具体费用需要根据您的具体情况和当地的法律规定来确定。如果您打算聘请律师，可以先了解一些常见的服务范围和服务价格，并询问是否有免费咨询服务或初步咨询的机会。同时，也可以通过比较不同律师事务所的服务质量、收费模式等信息来做出明智的选择。