一、根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十六条的规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。 二、如果该夫妇未办理结婚登记手续，则视为未婚同居关系。在这种情况下，双方之间不存在合法婚姻关系，因此他们不具有法定的抚养义务。 三、由于未办理结婚登记手续，所以无法确定其是否为婚生子，也无法确认其是否属于遗弃行为的范畴。但无论哪种情况，都不应认为母亲有法律义务抚养孩子。 四、基于以上分析，建议您与当地的民政部门或法律援助机构联系，以获得更准确的法律意见。