你好，根据法律规定，你私下与古物买卖公司签订合同，并在当天支付了定金。然而，在第二天反悔，此时应当按照双方约定的条款处理。如果合同中没有明确约定违约责任，那么通常情况下，你可以要求对方退还定金并赔偿损失。 请注意，具体处理方式需要参考双方合同的具体约定和相关法律法规。建议你在处理此类纠纷时，寻求专业的法律顾问的帮助，以便更好地保护自己的合法权益。