首先，您和您的未婚夫在没有办理结婚登记的情况下购买房产，并且首付由他支付，而房子的所有权则登记在您的名下。这种情况通常被认为是赠与行为，而不是买卖关系。 在这种情况下，如果您的未婚夫愿意继续履行其作为赠与人的义务，即向银行还款并承担贷款责任，那么房子最终归属于您二人共有。但是，如果您无法偿还贷款，或者您决定放弃房屋所有权，该房产将被视为遗弃物，归于国家所有或按照法定程序处理。 因此，在这种情况下，您可以要求对方偿还房贷，并考虑是否需要采取进一步行动以保护自己的利益。同时，建议双方进行详细讨论，明确各自的立场和期望，以便找到一个双方都能接受的解决方案。