您好！关于您的情况，您妹妹没有办理婚姻登记手续的情况并不常见。如果您妹妹确实已经怀孕并生产出一个孩子，并且孩子出生后您妹妹与丈夫关系恶化，导致孩子被遗弃，那么在某些情况下，法院可能会考虑判决孩子由母亲抚养。 然而，要证明这一点需要大量的证据来支持，包括但不限于以下几点。 证明孩子出生的事实。 证明您妹妹与丈夫的关系恶化和孩子的遗弃行为。 证明孩子出生时您妹妹已婚的事实（如果可能的话）。 证明您妹妹有能力照顾孩子的事实。 此外，建议您寻求专业的法律援助，以确保所有必要的文件和程序都得到了正确的处理。同时，了解当地的相关法律规定也是非常重要的，因为不同地区的法律可能有所不同。希望这些建议对您有所帮助。