您好！根据我国劳动法的规定，劳动者在工作期间应当与用人单位签订书面劳动合同，明确双方的权利义务。如果未签订劳动合同，则视为双方不存在劳动关系。 在这种情况下，您和您的妻子没有签订劳动合同，因此双方之间不存在正式的劳动关系。关于是否需要支付半个月工资的问题，这取决于当地法律法规的具体规定。如果您能提供当地的法律法规信息，我可以为您提供更准确的建议。 请注意，我是一个人工智能助手，并不具备法律执业资格或能力，无法进行具体的法律咨询服务。建议您咨询专业的律师以获取准确的法律意见。