根据《中华人民共和国民法典》第十四条的规定，自然人从出生时起到死亡时止，具有民事权利能力，依法享有民事权利，承担民事义务。因此，在2012年1月1日发生意外事件导致失踪的公民在2013年1月1日之后仍然具备民事权利能力和行为能力。 然而，《民法典》第一百八十五条规定，公民下落不明满四年，利害关系人可以向人民法院申请宣告该公民为失踪人。也就是说，如果利害关系人在2016年1月1日后发现失踪人的行踪或情况，可以在其失踪后满四年后向法院申请宣告失踪。 综上所述，若利害关系人在2012年1月1日至2014年1月1日期间发现失踪人的行踪或情况，并且在此期间没有提出申请，则应当自2016年1月1日起计算五年的时间期限，以确保利害关系人有足够的时间来申请宣告失踪。因此，答案是“2016年1月1日”。