《中华人民共和国母婴保健法》规定，公民依法享有国家规定的孕产期保健服务。根据该法律规定，如果婴儿的出生地在另一个镇，而接种疫苗的地点则位于原户籍所在地，则其父母有权要求当地卫生部门为其婴儿提供必要的医疗保健服务。因此，您可以通过与当地的卫生健康委员会或相关部门沟通协商解决这个问题。同时，建议保留相关证据以备不时之需。