关于您提到的老人生前出钱购买并登记在子女一人名下的房产，在老人去世后未留有遗嘱的情况下，子女是否有继承权的问题，通常情况下，按照法律规定，该房产应属于被继承人的遗产。因此，如果有其他的子女，他们应该有权继承该房产。 至于您提到的子女是否履行了赡养义务的问题，这可能会影响继承权的行使。一般来说，如果子女未能妥善照顾老年人的生活和健康，且这种行为导致老年人的身心健康受到损害或影响其生活质量，那么在处理财产继承时可能会考虑给予更多的关注或采取更严格的条件来限制继承。 如果您有具体的案件情况或者疑问，建议咨询专业的律师以获得最准确的答案和指导。