首先，关于是否可以起诉父亲遗弃罪的问题，需要根据具体情况来判断。如果孩子的生父拒绝支付抚养费，而这种行为导致了对子女的生活和教育条件的损害，那么法院可能会认定其行为构成遗弃罪。 然而，在这个案例中，没有足够的证据表明父亲的行为已经造成了对子女生活和教育条件的损害。因此，很难确定父亲的行为是否构成遗弃罪。 至于是否可以要求父亲支付抚养费，这取决于当地法律规定以及双方的具体协议。通常情况下，如果一方拒绝支付抚养费，另一方有权向法院申请强制执行。但是，如果没有明确的法律规定或协议，仅凭单方面的要求是难以获得支持的。 综上所述，虽然存在一些可能的情况，但无法肯定地认为父亲的行为构成遗弃罪，并且也无法确认他是否应该支付抚养费。在处理此类案件时，建议寻求专业的法律帮助，以便更好地了解相关法律法规及具体案情。