根据《中华人民共和国民法典》第十六条的规定。“侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿残疾生活辅助具费和残疾赔偿金。造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。”该事件中，如果小狗在被送到第一家中医院后没有生命体征，且第二家中医院已经进行过抢救但仍然无法挽救小狗的生命，则第一家中医院可能需要承担一定比例的责任。 然而，具体的责任分配还需要考虑多个因素，包括但不限于小狗的情况、第一家中医院的诊疗水平、救治过程中的不当行为等。因此，在实际处理此类案件时，建议寻求专业的法律意见或委托有资质的律师代理诉讼。