根据《中华人民共和国民法典》规定，机动车驾驶人发生交通事故后逃逸的，该机动车一方承担全部责任。 因此，如果私家车上路时发生事故并导致他人受伤，且司机逃离现场，应视为是完全由自己承担责任，并不涉及保险公司理赔的问题。如果事后车辆能够找到并且被车主认领，那么车主需要承担赔偿责任；若无法确定车主身份，则按照无过错原则，由肇事者（即驾驶员）负责。 在本案中，司机逃逸后又主动投案，这本身并不影响其应当承担的责任。如果对方要求赔偿，可以向法院提起诉讼，请求法院判决被告赔偿损失。同时，建议收集相关证据，如监控录像、证人证言等，以支持自己的主张。 请注意，上述分析基于一般情况和法律规定，具体情况可能有所不同。对于具体的案件处理，建议寻求专业的法律意见。