根据我国法律规定，如果公公没有留下遗嘱，那么他的遗产应该按照法定继承进行分配。在法定继承中，首先需要确定第一顺序继承人，即配偶、子女（包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有抚养关系的继子女）、父母。第二顺序继承人则是其他亲属，如兄弟姐妹。 在这种情况下，如果有两个儿子，他们都有权获得遗产。但是，由于你提到其中一个儿子不尽任何赡养义务，这可能会影响其继承份额。因此，在处理此类案件时，需要考虑家庭成员之间的权利平衡，并根据具体情况作出适当的安排。 如果你需要进一步的帮助，请联系专业的法律顾问或律师事务所。