老城区改造过程中，物业和社区确实拥有一定的执法权。这些权力通常基于当地法律法规的规定，可能包括但不限于管理公共空间、维护环境卫生、实施安全措施等。 在处理涉及树木的事务时，物业和社区有权决定是否进行修剪或砍伐，但这种决策需要考虑到多种因素，例如树木对环境的影响（如遮阴效果）、树木的生长状况、附近居民的生活习惯等因素。此外，如果树木被认定为属于国家所有或者存在其他法律规定的情况，物业和社区则无权对其进行任何操作。 请注意，上述信息是基于一般情况下的理解，具体情况可能会因地区法规的不同而有所不同。在实际操作中，建议物业和社区与相关政府部门保持沟通，遵循当地的法律法规来合理管理和保护社区内的公共设施和自然环境。