根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第十六条的规定，公安机关对违法行为人作出行政拘留的处罚决定后，应当立即通知被处罚人的家属。因此，在本案中，如果法医鉴定结果表明是轻微伤，则应该由警方负责向受害人支付医疗费用。至于被告人在拘留期间发生的费用，应由其本人或者其家属承担。 在民事赔偿方面，虽然法医鉴定为轻微伤，但具体情况需要结合案件的具体事实和法律规定来确定。一般来说，如果存在侵权行为，并且造成了损害后果，那么受害方有权要求侵权方进行赔偿。不过，具体赔偿数额还需要根据实际情况综合考虑。建议您与相关专业人士沟通了解具体的赔偿事宜。