首先，根据我国相关法律规定，对于未满十四周岁的未成年人，其父母或者其他监护人不得擅自离开居住地或者外出务工。如果母亲离家出走并留下婴儿，可能涉嫌遗弃罪。 其次，关于是否构成诈骗罪或骗婚罪的问题，需要具体分析案件事实和证据。如果母亲的行为是为了获取金钱或其他财物，而并非出于真实意图欺骗他人，那么可能不构成诈骗罪或骗婚罪。 最后，关于婴儿的抚养权问题，通常情况下，法院会根据双方的具体情况来决定。在没有明确约定的情况下，一般情况下，母亲应当承担起照顾婴儿的责任。如果女方的行为严重损害了孩子的身心健康，影响到其健康成长，可能会被追究法律责任。 综上所述，具体情况需依据具体的案情进行判断，并寻求专业的法律帮助。