根据《中华人民共和国土地管理法》第六十二条的规定，非法占用土地的单位和个人应当立即停止违法行为，并由县级以上人民政府自然资源主管部门责令退还非法占用的土地；对符合临时使用土地条件的，责令限期拆除在非法占用的土地上新建的建筑物和其他设施，恢复土地原状，可以处以罚款。同时，根据《中华人民共和国行政强制法》第四十五条的规定，行政机关依法作出金钱给付义务的行政决定，当事人逾期不履行的，行政机关可以依法加处罚款或者滞纳金。在此情况下，如果邻居家的违法建设已经得到纠正，并且按照规定进行了恢复原状等行为，那么他们有权申请补办相关手续，如办理建设用地许可证等相关手续。但是，具体是否能够补办手续需要根据具体情况和当地相关政策来判断。建议您向当地的国土资源部门或相关部门咨询具体的政策和流程。