在处理涉及医疗事故的纠纷时，首先需要明确的是，医疗事故是指医疗机构及其医务人员在诊疗活动中违反医疗卫生管理法律、行政法规、部门规章和诊疗护理规范、常规，过失造成患者人身损害的事故。因此，在进行任何与医疗事故相关的活动之前，应当确保所有的证据都得到了妥善的保管和保护。 对于您的情况，如果已经完成了对两家中甲级医院的验伤检查，并且双方同意私了，您可以考虑签订一份关于赔偿事宜的协议，以确定您可以获得的具体金额以及支付方式等细节。然后，您可以根据协议要求对方履行相应的义务，如支付赔偿金或承担其他责任。 如果您认为有必要，可以寻求第三方的帮助，比如聘请一名法律顾问或者通过调解等方式解决纠纷。但请注意，这些建议并不代替专业的法律意见，具体操作请务必咨询相关专业人士的意见。