根据中国法律规定，如果夫妻未办理结婚登记手续而共同生活，则应视为事实婚姻。在这种情况下，双方应当按照《中华人民共和国民法典》的规定处理子女抚养权及财产分割等相关事宜。 对于孩子的抚养权，通常由法院依据有利于孩子的原则进行判决。在没有明确约定的情况下，一般会倾向于非直接抚养方（即父亲）获得孩子的抚养权。但是，在特殊情况下，如母亲患有严重疾病无法照顾孩子，或者孩子有特定需求需要由某一方来满足等，法院也可能考虑变更抚养权归属。 关于孩子的医疗费用，由于您提到的是“两个月的婴儿”，这可能指的是新生儿期的孩子。根据中国的相关法律法规，父母对未成年子女有抚养教育的义务，并且应该提供必要的医疗服务。因此，即使没有正式的结婚证书，父母也应当承担起对孩子的基本抚养责任。 在实际操作中，建议双方协商解决抚养权和医疗费等问题，若协商不成，可以通过诉讼途径寻求法律帮助。同时，为了保护自身权益，建议事先了解相关法律规定并收集证据支持自己的主张。