您的情况可能涉及到多个法律层面的问题。首先，根据《中华人民共和国刑法》等相关法律规定，如果一方在打架斗殴中使用了暴力手段导致他人受伤或死亡，可能会构成故意杀人罪、故意伤害罪等刑事犯罪。 其次，在实际操作中，警方通常会在接到报案后迅速到达现场处理。在您提到的案件中，虽然没有详细说明当时的具体情形，但考虑到您家人的健康状况和警察介入后的处理方式，可以推测当时的警方可能已经初步判断了事件性质并进行了相应的处置。 至于是否应该立即采取逮捕措施，这取决于具体的情况。在一些情况下，警方可能会先进行必要的安全检查和调查工作，以确保公众的安全，并防止事态进一步恶化。在这种情况下，警方会优先考虑保护公共利益和社会秩序，而不是仅仅因为嫌疑人暂时逃脱而放弃追捕。 此外，即使警方未能及时采取逮捕措施，也不意味着被告人的行为就一定合法。如果您认为自己的权益受到了侵犯，可以通过法律途径寻求救济，包括但不限于提起民事诉讼、申请行政复议或者向法院提出刑事自诉。 最后，对于治安案件，如打架斗殴等，公安机关应当按照相关法律法规的规定，依法进行调查取证、审查证据、作出处理决定，并在必要时采取强制措施。如果您对此有疑问或需要帮助，请咨询专业的法律顾问。