首先，关于您的父亲和母亲之间的关系，由于他们尚未办理正式的离婚手续，因此他们的婚姻状况存在争议。如果您需要了解有关这种关系的具体法律信息或建议，建议咨询专业的法律人士。 其次，关于您提到的您母亲与他人同居的问题，这可能涉及到家庭暴力、财产分割等问题。在这种情况下，您可以考虑寻求法律援助或咨询相关法律专业人士以获取帮助和指导。 最后，如果需要证明您的母亲与他人同居的事实，可以尝试收集相关的证据，如聊天记录、短信、电子邮件等，以及任何其他能够支持您主张的相关文件或材料。这些证据可以帮助您更好地维护自己的权益，并为解决问题提供有力的支持。 请注意，在处理这类敏感和个人隐私的问题时，务必谨慎行事，确保所有行动都是合法且符合道德标准的。同时，尊重他人的隐私权是非常重要的。