您好！如果您的猫在这家商店寄养期间丢失，并且该商店未能妥善处理此事，您有权向法院提起诉讼。根据中国《民法典》等相关法律法规，您可以通过以下步骤进行。 首先，您可以收集和保存相关证据，包括但不限于宠物寄养协议、照片或其他证明物品已被寄养的证据。 接着，您需要准备诉状，详细描述丢失宠物的情况，以及商店未履行职责的行为。 最后，您需要向当地人民法院提交诉状，并附上所需的相关证据材料。 请注意，具体的诉讼流程可能会因地区而异，建议您寻求专业的法律帮助以确保您的权益得到保护。同时，希望您的宠物能够尽快找回，祝您早日解决问题。