书面的房屋租赁合同只是合同的一种形式，是合同的载体而已。从你们双方的行为来看，显然已经就房屋租赁达成一致意见，房屋租赁合同已经生效。您支付了一个月的房租，并且向房东支付了押金，表明您已经实际上在履行合同。没有签订书面合同，可以视为合同是不定期合同。