根据法律规定，如果您的司机在您雇佣期间因意外事故导致受伤并因此遭受了医疗费用和其它直接经济损失，您可以向保险公司索赔。然而，在此情况下，是否应该承担赔偿责任取决于具体的情况。 首先，您是否有过错或者疏忽大意的行为是决定是否承担责任的关键因素之一。例如，如果您知道或应当知道该司机有健康问题但仍然雇佣他/她，则可能需要对此承担责任。 其次，您的雇主是否有义务为雇员提供必要的安全保障措施，以及这些措施是否有效防止此类事故的发生也是考虑的因素之一。例如，如果您的司机已经患有心脏病或其他严重疾病，并且您没有采取适当的安全措施来避免这种风险，则您可能需要对此承担责任。 最后，具体情况还需要结合当地的法律法规进行分析。建议您咨询专业的法律顾问，以便得到更准确的指导和帮助。