根据我国民事诉讼法的规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定提出再审申请的，人民法院应当自收到申请之日起六个月内审查，符合本法规定的，裁定再审；不符合本法规定的，裁定驳回申请。因此，在提起再审申请时，当事人无需支付任何费用。