根据法律规定，离婚时，一方要求变更子女抚养关系的，应当向人民法院提出书面申请，并提供相应的证据。在本案中，女方已经支付了部分补偿款给男方，因此男方是否能以子女抚养权为由提起诉讼需要看具体情况。 如果男方认为子女应由自己抚养，且有充分的证据证明自己的条件更适合抚养子女，那么他可以在收到法院通知后提交书面请求和相关证据材料。然而，如果女方对男方的主张持有异议，或者没有足够的证据支持其主张，那么男方可能无法通过法律途径获得子女的抚养权。 需要注意的是，在处理此类案件时，双方应该尽量采取和平协商的方式解决纠纷，避免因不当行为导致进一步的矛盾和争议。如果您或您的朋友遇到类似情况，建议寻求专业的法律帮助。