在处理此类邻居纠纷时，首先需要考虑的是事实真相和责任划分。根据你的描述，对方先动手打人，这在法律上通常被视为过错行为。然而，双方在冲突中都有一定程度的身体接触，导致双方都有伤害，这可能会影响责任的划分。 如果对方先动手，并且你们在自卫过程中造成了对方的伤害，那么根据《中华人民共和国侵权责任法》的规定，你们可能享有正当防卫的权利。正当防卫是指为了保护国家利益、社会公共利益、本人或者他人的人身、财产等权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为，对不法侵害人造成损害的，不承担侵权责任。 但是，如果自卫行为超出了必要限度，造成了不应有的损害，那么超出部分可能需要承担相应的责任。派出所提出双方各自承担一半医药费的建议，可能是基于双方在冲突中都有受伤的事实，但这并不意味着责任完全对半分。 在这种情况下，如果你们认为对方应承担更大的责任，可以考虑通过法律途径解决，比如提起民事诉讼，要求对方赔偿因侵权行为造成的损失。在诉讼过程中，法院会根据事实和证据来判定责任比例。同时，建议收集和保留所有相关证据，包括但不限于医疗记录、费用发票、目击者证言等，以备不时之需。