首先，根据您的描述，您已经支付了部分医疗费用，并且对方也同意赔偿一部分损失。在这种情况下，您可以要求对方赔偿剩余的医疗费用和相关损失。关于是否需要承担额外的责任的问题，这取决于具体的情况和法律规定。如果您认为自己没有过错或责任，则可以拒绝任何超出保险范围之外的赔偿请求。建议您与对方协商解决，如果无法达成一致，可以选择通过法律途径解决争议。在诉讼过程中，法院会依据法律规定和实际情况判断是否应该支持超出保险范围的赔偿请求。因此，在处理此类案件时，应当寻求专业的法律意见以确保自己的权益得到保护。