婚姻关系存续期间，一方存在婚外情行为，并且与对方共同欠下了债务，这种情况属于夫妻共同债务。因此，该债务应当由双方共同承担偿还责任。 至于孩子的抚养权问题，一般情况下，法院会根据有利于孩子成长的原则来决定。如果孩子愿意跟随母亲生活，通常会给予母亲更多的抚养权；反之亦然。但在具体案件中，还需要考虑其他因素，如父母的经济条件、居住环境等。 关于债务的处理，建议您及时与债权人沟通，协商解决。如果无法达成一致，可以向人民法院提起诉讼，要求债权人按照法律规定进行清偿。同时，也可以考虑通过和解或调解的方式，以期尽快解决问题。