根据《道路交通安全法》的规定，行人、乘车人、非机动车驾驶人违反道路交通安全法律、法规关于道路通行规定的，处警告或者五元以上五十元以下罚款。如果该名员工在非工作时间、非上下班途中或休息时间内发生交通事故并导致其自身死亡，则可能涉嫌交通肇事罪，具体要视情况而定。 对于公司的责任，一般情况下，如果事故是由于员工的故意行为造成的，公司可能会承担相应的法律责任；如果是因意外事件造成，例如车辆故障、恶劣天气等，那么公司可能不承担责任。 因此，在处理此类案件时，建议及时报警，并由交警部门进行调查和认定。同时，公司应积极与家属沟通，了解具体情况，尽力提供帮助和支持。如果涉及刑事犯罪，应及时向公安机关报案。