根据《中华人民共和国劳动民法典》第三十八条的规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同。 在试用期间被证明不符合录用条件的； 严重违反用人单位的规章制度的； 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的； 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的； 被依法追究刑事责任的。 在您的情况下，您父亲是在工作岗位上突发疾病去世的，这可能构成工伤。如果公司在事故发生时已经与员工签订了劳动合同，并且公司没有按照法律规定为员工办理社会保险，那么公司可能会被视为雇主未能履行其法定职责，从而可能面临一定的法律责任。此外，由于公司未及时支付工资和福利，也可能导致员工家属的经济困难。建议您向当地的劳动监察部门或人力资源和社会保障局咨询具体的责任认定和赔偿标准。