根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百零五条的规定，人民法院审理案件，应当公开进行。但是涉及国家秘密、个人隐私和法律另有规定的除外。 对于被告人在执行判决过程中所发生的相关费用，通常情况下应由其自行承担。这是因为法律规定了被告人的行为后果应当由其本人负责，而非由国家或社会负担。如果涉及到赔偿责任的，可以依据相关法律法规来确定是否需要由国家或其他单位支付相应费用。 因此，在处理此类情况时，应当遵循上述规定，并确保公正合理的审判结果。同时，建议与专业的法律机构或法律顾问进行详细的咨询，以获得更加准确的信息和指导。