根据我国《机动车登记规定》第十三条的规定。“车辆管理所办理机动车变更登记时，应当收回原行驶证和号牌，核发新的行驶证和号牌。”因此，该车辆的所有权应该由原车主转移给新车主。至于你单位是否需要承担责任的问题，这取决于你们之间的合同约定以及相关法律规定。建议你可以与你的单位进行沟通，了解你们之间是否有相关的协议或约定，并寻求专业的法律意见。