根据我国法律规定，交通事故中致人损害的责任应当由侵权方承担。在您的情况下，您作为驾驶者应承担全部责任，并且该费用应当由您自行承担。 因此，即使公司没有明确表示要代为赔偿，您也不应该支付这笔额外的费用给对方。如果对方坚持要求赔偿，您可以考虑通过法律途径解决纠纷，寻求合法的赔偿方式。同时，建议保留相关证据以支持自己的主张。