在您的情况下，如果责任认定书确定司机为全部责任，并且双方已经达成私了协议，其中包含了部分经济补偿和剩余损失由保险公司赔偿的部分。这种情况下，保险公司通常会按照协议条款履行其义务。 关于您提到的案件性质对保险赔偿的影响，具体情况需要根据具体案件来判断。一般来说，在刑事诉讼中，如果最终判决结果涉及财产损害或人身伤害，那么保险公司可能会受到一定程度的限制。这是因为保险公司可能需要遵守相关的法律规定，例如在一些国家和地区，保险公司不得参与或资助与犯罪活动有关的项目。 因此，建议您向保险公司详细询问相关条款和规定，以确保获得准确的信息和指导。此外，如果您认为保险公司未能完全履行其合同义务，可以考虑寻求法律帮助，以维护自己的权益。