在您的情况下，如果私人机构的工作人员错误地为您的孩子进行了性别鉴定，并导致了不必要的医疗干预（如人工流产），那么他们可能需要承担一定的法律责任。然而，具体的责任将取决于许多因素，包括但不限于。 过错的程度。如果工作人员的失误是由于疏忽或不熟悉相关的诊断技术所导致的，那么他们的行为可能会被认为是轻微的过失。 对孩子的伤害。如果孩子因为错误的性别鉴定而遭受身体上的痛苦或心理上的影响，则工作人员的行为可以被视为严重的过失。 相关法律法规。不同国家和地区对于此类情况的法律规定可能存在差异，因此您所在地区的法律可能会对此类事件的赔偿和责任承担提供指导。 第三方的损害赔偿请求。如果第三方（如父母）认为他们因工作人员的错误而遭受了损失，例如医疗费用、精神损失等，他们有权向该工作人员提出损害赔偿请求。 请注意，上述信息仅供参考，具体情况应依据当地的法律法规及法院判决来确定。建议您尽快联系专业的法律顾问以获得更准确的信息和法律建议。