根据《国务院关于修改〈全国年节及纪念日放假办法〉的决定》（中华人民共和国国务院令第643号）的规定，国家机关、社会团体、企业事业单位和其他组织应当尊重各少数民族风俗习惯，保障各民族在社会生活各方面的合法权益。因此，沈阳市的员工在2017年6月26日遇到回族同胞开斋节时，可以根据自身实际情况申请休假。但具体是否能够享受带薪休假，还需要参考单位的具体规定和当地劳动法规。建议您直接与所在单位人力资源部门或当地劳动保障部门联系了解详细情况，并按照相关规定办理相关手续。同时，也提醒您遵守相关的法律法规，确保自己的权益得到保护。