根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第36条的规定，犯罪嫌疑人、被告人除自己行使辩护权外，还可以委托辩护人为其提供辩护。在侦查阶段，犯罪嫌疑人可以自行聘请律师，也可以由其近亲属代为聘请；在审查起诉和审判阶段，一般应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。 因此，在这种情况下，如果嫌疑人请求会见律师并没有委托律师，但家属接到通知后不委托律师，看守所通常会根据实际情况为其联系律师，以帮助其维护合法权益。但是具体做法还需要看当地公安机关或司法机关的处理方式以及相关法律法规的具体规定。