在没有结婚登记的情况下，孩子的抚养权问题通常由法院根据最有利于孩子成长的原则来判定。法院会考虑多种因素，包括但不限于双方的经济能力、居住环境、孩子的年龄、双方抚养孩子的意愿以及孩子与父母的情感联系等。 由于孩子目前只有10个月大，通常法院会倾向于将抚养权判给母亲，因为孩子在这个阶段更需要母亲的照顾和哺乳。此外，如果孩子一直由母亲照顾，法院也会考虑到孩子对母亲的情感依赖和适应性。 然而，这并不是绝对的，如果父亲能够提供充分的证据证明自己有能力并且愿意承担起抚养孩子的责任，法院也会考虑将抚养权判给父亲。此外，如果母亲存在不利于孩子成长的因素，比如经济困难、健康问题或不良行为等，法院也可能将抚养权判给父亲。 最终，法院会根据具体情况做出最有利于孩子的判决。建议双方尽量通过协商解决抚养权问题，如果协商不成，可以寻求法律途径解决。同时，为了孩子的户口问题，建议尽快补办相关手续，以免影响孩子今后的学习和生活。