根据法律规定，如果当事人在事故中遭受轻伤或中度伤害，并且通过协商达成协议私了，则可能不构成交通肇事罪。然而，在这种情况下，对方可能会要求支付医疗费和其他相关费用。 在这种情况下，如果警察介入并进行调查，他们可能会询问双方关于事故的详细情况和责任分配。如果交警认为事故的责任应该由一方承担，那么他们可能会对这一方进行相应的处罚，例如罚款或扣分。 然而，具体的处罚将取决于事故的具体情况以及交警的判断。因此，建议您与律师或法律顾问进行详细的讨论，以了解您的具体情况如何被处理。