您在病假期间提出的要求符合法律规定，因此居家养老服务机构要求您于2016年10月退出居家养老工作的行为是不合理的。如果您已经完成了您的职责，并且提供了证明文件表明您的健康状况不允许继续工作，那么您可以拒绝退出。此外，如果他们在未经您同意的情况下就终止您的服务，他们可能违反了相关法律法规，包括《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动民法典》，这可能会导致您有权获得赔偿或其他补偿。建议您与相关部门或组织沟通，以了解您的权利并寻求解决方案。