在大多数情况下，如果一个私人幼儿园的教师被要求在寒暑假期间进行全职工作，并且他们的工资低于当地最低工资标准，这可能构成非法雇佣。根据中国的劳动法律法规，雇主不得强迫员工在法定休息日或寒暑假期间从事非生产性工作。 然而，具体是否违反法律规定需要考虑多种因素，包括但不限于当地政府的规定、劳动合同中的条款以及该教师的工作条件等。因此，在处理此类情况时，建议您寻求专业的法律意见以确保您的权益得到保护。