您好！根据您提供的信息，我了解到您在某家公司工作期间存在一些争议。首先，关于您在2016年4月20日到2017年3月31日期间是否享有全勤补贴的问题，法律规定，用人单位应当按照国家规定向劳动者支付加班工资。如果您没有得到全勤补贴，您可以要求公司补发。 其次，关于您是否有权利获得回家的交通费用的问题，这通常取决于您的合同条款以及当地的劳动法律法规。如果您的合同中明确规定了这样的条款，那么您有权获得相应的交通费用补偿。 最后，关于您提到的公司是否与您签订了劳动合同的问题，如果双方之间不存在书面的劳动合同关系，则可能需要通过其他方式来证明您的工作经历。在这种情况下，您可以尝试联系公司的人力资源部门或法律顾问，了解有关的具体情况。 总的来说，建议您保留好相关的证据，如工资单、考勤记录等，并及时与公司沟通解决此问题。希望我的解答对您有所帮助。